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Petits et grands problèmes de math


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Un agriculteur a 100 kg de pommes de terre.

Au début, elles se composent de 99 pour cent d'eau et donc 1 % de matière sèche.

Plus tard, en cours du stockage, leur teneur en eau descend à 98 %.

Quel est alors le poids total des pommes de terre ?

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Tu as 1 kg de matière sèche. Pour que 1 kg fasse 2% de la masse totale M tu dois avoir 0.02*M=1 => M = 50 kg.

Problème dont je n’ai pas la solution : vers quoi converge somme[k = 0 to +inf](k * p^k) ? (et pour quelles valeur de p ça converge, d’abord ?)

Edit : ha bah wolfram m’a répondu. C’est vraiment cool ce truc.

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Problème dont je n’ai pas la solution : vers quoi converge somme[k = 0 to +inf](k * p^k) ? (et pour quelles valeur de p ça converge, d’abord ?)

C'est pas le développement en série entière de p/(1-p)^2 ?

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  • 3 weeks later...

Mick, marathonien aguerri, effectue une sortie sur son parcours favori : il court d'un point A à un point B puis revient à son point de départ.
Il maintient sa vitesse à 15 km/h sur le plat, ralentit à 12 km/h en montée et atteint 20 km/h dans les descentes.
À l'aller, il effectue le trajet en 35 minutes. Au retour, il met 45 minutes.
Quelle distance sépare le point A du point B ?

 

 

Évidemment, il existe une solution simple et élégante qui dispense de calculs trop fastidieux.

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Sachant que chaque section en descente compense la même distance en montée au final, la distance totale est calculée en longueur à plat + longueur en descente à l'aller. Un km est parcouru en 4 minutes à plat, 5 minutes en montée et 3 minutes en descente, donc il y a 5 km parcourus en descente à l'aller donc autant en montée au retour, le reste comptant comme du plat. Ces 5 km sont parcourus en 25 minutes à l'aller et 15 minutes au retour, laissant 20 minutes de plat soit 5 autres km. Total: 10km.

On pouvait aussi généraliser le début, calculer le total aller retour sur les 35+45 minutes=80 minutes à 15km/h de moyenne.

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Mick, marathonien aguerri, effectue une sortie sur son parcours favori : il court d'un point A à un point B puis revient à son point de départ.

Il maintient sa vitesse à 15 km/h sur le plat, ralentit à 12 km/h en montée et atteint 20 km/h dans les descentes.

À l'aller, il effectue le trajet en 35 minutes. Au retour, il met 45 minutes.

Quelle distance sépare le point A du point B ?

Évidemment, il existe une solution simple et élégante qui dispense de calculs trop fastidieux.

Ça me fait penser à un problème de chimie :

Amstrong est cycliste aguerri. Il effectue une sortie sur son parcours favori :

Il roule d'un point A à un point B puis revient à son point de départ.

Il maintient sa vitesse à 40 km/h sur le plat, à 60 km/h en montée et à 40 km/h dans les descentes.

À l'aller, il effectue le trajet en 35 minutes. Au retour, il met 45 minutes.

Quelle produit prend-il ?

  • Yea 1
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  • 2 weeks later...

Neomatix, la preuve analytique est rigoureuse (et bien plus générale que cette seule série), mais il y a plus simple. Multiplie cette série par quatre, tu trouve la même série plus un. Simplifie, et tu trouves que la série vaut un tiers.

Sloonz, la géométrie dans ce cas sert surtout à des fins pédagogiques (et c'est très important).

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Je suis d’accord, la pédagogie c’est important.

L’expérience pédagogique qui m’a le plus marqué en maths c’était au collège, quand le prof nous a présenté un « théorème » avec une justification à peu près crédible ponctuée de « on voit bien que », avant de nous laisser l’heure suivante pour démontrer plus proprement le théorème.

Je suis tombé sur un contre-exemple au bout de 10 minutes. Ce qui était évidemment le but de l’exercice. Ne jamais faire confiance à l’à-peu-près-convainquant.

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Je suis d’accord, la pédagogie c’est important.

L’expérience pédagogique qui m’a le plus marqué en maths c’était au collège, quand le prof nous a présenté un « théorème » avec une justification à peu près crédible ponctuée de « on voit bien que », avant de nous laisser l’heure suivante pour démontrer plus proprement le théorème.

Je suis tombé sur un contre-exemple au bout de 10 minutes. Ce qui était évidemment le but de l’exercice. Ne jamais faire confiance à l’à-peu-près-convainquant.

Premier cours d'algèbre en prépa : la prof démontre par récurrence que tous les points sont alignés (ben oui, deux points sont toujours alignés, et quand on a N + 1 point tous alignés N à N (petit schéma avec une demi-douzaine de points), "on voit bien que".

Je souris en coin, jusqu'à ce que je voie la grande majorité de l'amphi (ou en tout cas, de ceux qui écoutent) se gratter la tête pour comprendre pourquoi on ne leur a jamais dit ça par le passé ; là, je me dis que l'année va être dure.

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  • 2 weeks later...
  • 2 weeks later...

Leon a choisi un entier positif non nul divisible par 7 et inférieur à 100. Il décide d'en divulguer le chiffre des unités à Alfred et le chiffre des dizaines à Kurt.

Alfred est très féru de logique et tient les propos suivants :

« Tu ne connais pas le nombre de Leon.

- Si, je le connais, répond Kurt. »

 

Quel est ce nombre ?

 

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Les nombres possibles sont 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91 et 98.

Alfred connaît les unités, et celui-ci réduit la gamme aux nombres qui partagent leur chiffre des dizaines avec un autre: 21, 28, 42, 49, 70, 77, 91 et 98.

Kurt connaît les dizaines, et sachant qu'Alfred peut déduire le nombre du chiffre d'unité seul, ramène cette gamme aux seuls 42, 49, 70.

Comme Alfred affirme qu'il ne peut pas déduire le nombre du seul chiffre des dizaines, mais qu'en fait il peut, je dirais que le nombre était 70.

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Les nombres possibles sont 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91 et 98.

Alfred connaît les unités, et celui-ci réduit la gamme aux nombres qui partagent leur chiffre des dizaines avec un autre: 21, 28, 42, 49, 70, 77, 91 et 98.

Kurt connaît les dizaines, et sachant qu'Alfred peut déduire le nombre du chiffre d'unité seul, ramène cette gamme aux seuls 42, 49, 70.

rien ne dit qu'Alfred peut déduire le nombre à partir du seul chiffre des unités.

Alfred peut avoir 1, ne pas savoir si c'est 21 ou 91, mais tout de même savoir que Kurt a soit 2 soit 9 et constater que dans chaque cas Kurt ne peut conclure.

Donc Alfred peut dire à Kurt "tu ne sais" et ne pas savoir lui-même

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Alfred peut avoir 1, ne pas savoir si c'est 21 ou 91, mais tout de même savoir que Kurt a soit 2 soit 9 et constater que dans chaque cas Kurt ne peut conclure.

Donc Alfred peut dire à Kurt "tu ne sais" et ne pas savoir lui-même

Sauf que dans ces cas la Kurt ne répond pas "si je sais", il ne sait toujours pas après la phrase d'Alfred.

Alors qu'avec 70, Kurt sais qu'Alred ne peux pas avoir le 7 apres que celui ci ait parle (car sinon il serait possible que le nombre soit 07, et dans ce cas la Kurt connaîtrait le nombre, et donc Alfred ne pourrait pas être sur que Kurt ne connait pas le nombre).

Donc comme Alfred n'a pas le 7, Kurt sait que l'unite c'est 0 et dit "je sais".

Bref avec 70 ca marche, je crois pas que ca soit possible avec d'autre nombres.

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Sauf que dans ces cas la Kurt ne répond pas "si je sais", il ne sait toujours pas après la phrase d'Alfred.

Alors qu'avec 70, Kurt sais qu'Alred ne peux pas avoir le 7 apres que celui ci ait parle (car sinon il serait possible que le nombre soit 07, et dans ce cas la Kurt connaîtrait le nombre, et donc Alfred ne pourrait pas être sur que Kurt ne connait pas le nombre).

Donc comme Alfred n'a pas le 7, Kurt sait que l'unite c'est 0 et dit "je sais".

Bref avec 70 ca marche, je crois pas que ca soit possible avec d'autre nombres.

Tu as raison.

Je donnais juste un contre-exemple à une supposition de Jesrad que je trouvais hâtive.

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  • 2 weeks later...

Par invariant d'échelle tu veux dire "scale-free" ? Si c'est le cas alors la réponse est oui. Typiquement les réseaux sociaux style facebook sont scale free et small world. Pour des graphes infinis je ne sais pas si la définition small xorld peut s'appliquer car le diamètre du graphe doit être proportionnel au log de l'infini ?

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Luc rencontre par hasard son ami Gilles accompagné de son épouse Véronique et de leur fils Cédric.

Gilles : «Il faut que tu viennes à la maison samedi, on organise une fête. Notre nouvelle adresse est 128 rue des Écoles.»

Véronique : mon mari exagère toujours et multiplie chaque nombre qu'il mentionne par 2.

Cédric : Maman compense les excès de Papa et divise chaque nombre qu'elle évoque par 4.

Gilles : notre fils ne fait rien comme nous : au lieu de multiplier ou de diviser, il ajoute 8 à chaque fois. »

Question : sauriez-vous indiquer à Luc où aura lieu cette soirée ?

 

Jesrad, merci de mettre un spoiler pour laisser une chance aux autres...

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Problème apparemment archi-connu, mais vu que je viens de le découvrir, alors j’en fait profiter tout le monde.

Alice, Bob et Charlie sont accusés de sédition sous une dictature. Le juge vient les voir et leur dit « nous n’avons aucune preuve solide contre qui que ce soit d’entre vous. J’ai donc décidé que demain, l’un d’entre vous sera exécuté, les deux autres relâchés ».

Le soir, Alice demande le garde : « vous savez qui sera exécuté demain, même si vous n’avez pas le droit de me le dire. Donnez cette lettre à un de mes compagnons qui sera libéré. Que je sois exécutée ou pas, il y en aura au moins un qui sera libéré. » Le garde accepte. Un peu plus tard, Alice demande au garde « nous ne pouvons pas communiquer. Vous pouvez me dire à qui vous avez donné la lettre : vous ne trahirez pas le secret ». Le garde lui informe qu’il a donné la lettre à Bob.

Le reste de la nuit, Alice ne peut plus fermer l’œil : « qu’est-ce que j’ai fait ? Avant de faire tout ça, j’avais une chance sur trois de mourir. J’ai maintenant une chance sur deux ! »

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